Chaos…

Prédire l’avenir a toujours été le rêve de l’homme, influer sur le futur, faire les bons choix. Les scientifiques du XIXe ont caressé l’idée qu’ils pouvaient prévoir le comportement des systèmes physiques, voire, sans doute, la dynamique du vivant et, pourquoi pas, le sort sociétés humaines. Laplace aurait dit : « donnez-moi les conditions initiales et je vous prédirai l’évolution du monde ! »

Ce mirage persiste en dépit de découvertes fondamentales qui devraient persuader tout un chacun de l’imprévisibilité du monde et de la difficulté à juger de l’impact d’un facteur particulier sur un système complexe.

L’idée que la connaissance des conditions initiales permet de prédire l’avenir hante encore les esprits : prévoir les cours de la bourse, le temps qu’il fera dans une semaine, l’évolution du climat.

Les ordinateurs ne sont pas assez puissants, les mesures pas assez précises voici les raisons invoquées pour expliquer les échecs ; raisons bien commodes, qui permettent entre autre de réclamer toujours plus de ressources.

Poincaré qui était un savant de la stature des plus grands mit en lumière la faille essentielle cachée dans le système newtonien : s’il est possible de calculer (de prédire) la course de deux planètes en interaction, dès que l’on introduit l’influence d’un troisième astre le calcul devient effroyablement compliqué du fait de phénomènes de résonances qui rendent toute prédiction impossible. La résonance est ce phénomène que nous avons tous expérimentés en poussant une balançoire : une fois le mouvement établi une légère poussée suffit à l’entretenir. Ainsi le glorieux mouvement d’horlogerie qui règle la course des astres, celui-là même qui justifiait l’orgueilleuse déclaration de Laplace était une illusion.

Ilya Prigogine rapporte, dans son petit ouvrage, « Les lois du chaos », qu’en 1986, Sir James Lighthill qui était alors président de l’Union internationale de mécanique pure et appliquée déclara : « Nous sommes très conscients, aujourd’hui, de ce que l’enthousiasme que nourrissaient nos prédécesseurs pour la réussite merveilleuse de la mécanique newtonienne les a menés à des généralisations, dans le domaine de la prédictibilité (…), que nous savons désormais fausses. »

Cet échec du déterminisme a pris le nom de chaos, les volutes de fumée d’une cigarette, toutes les mêmes et toutes différentes, les tourbillons de l’eau qui s’écoule, les nuages qui se ressemblent tous et sont tous différents : la turbulence est l’image du chaos, un ordre fou dont nait la vie. Souvenons-nous des systèmes dissipatifs.

Un doute subsiste cependant : et si ce chaos n’était que de l’ordre de la phénoménologie, un défaut de notre perception limitée ? Avec des moyens immensément puissants et précis n’arriverions-nous pas à prédire la forme des nuages, des merveilleux nuages ?

Eh bien ! Il existe des systèmes chaotiques extrêmement simples, d’une simplicité enfantine pour ainsi dire.

C’est ainsi qu’on peut montrer que l’itération d’une opération très simple appelée décalage de Bernoulli appliquée à deux nombres aussi proches que l’on veut, produit deux nombres très éloignés sans que l’on puisse retrouver ceux du départ par un processus inverse. Une idée de la preuve est donnée en note de bas de page [1].

On touche là du doigt un chaos qui n’a plus rien à voir avec la puissance de calcul, ni la précision de la mesure : un chaos déterministe d’une extrême simplicité, un chaos intrinsèque.

Le chaos n’est pas un artefact, il existe dans les mathématiques mêmes, son expression la plus spectaculaire peut se trouver dans les superbes images de fractales découvertes par le mathématicien français Benoît Mandelbrot.

On peut dès lors suspecter un certain charlatanisme chez les gens qui prétendent prédire la course de processus autrement plus complexes que sont les activités humaines et le climat. Les simulations d’évolution du climat sur ordinateur avec leurs multiples paramètres, les recherches de conditions optimales de stabilité des marchés sont des chimères coûteuses destinées le plus souvent à collecter des fonds, et à manipuler l’opinion dans le but d’atteindre des objectifs idéologiques ou d’enrichissement personnel.

Lorsque des gens prétendent prédire le futur à l’aide de modèles mathématiques, il faut toujours avoir en tête le modeste décalage de Bernoulli et le problème des trois corps qui plongea les plus grands mathématiciens dans des abîmes de perplexité. Le futur est chaotique.

——–

[1] Si l’on prend un nombre compris entre zéro et un et qu’on le multiplie par deux on obtient un nombre entre zéro et deux si il est supérieur à un on lui soustrait un, sinon on ne fait rien, on obtient ainsi de nouveau un nombre entre zéro et un. On peut répéter indéfiniment cette opération, on obtient ainsi une suite de nombres compris entre zéro et un. Le processus pour créer cette suite de nombres est déterministe, il ne laisse aucune place au hasard, il est connu sous le nom de décalage de Bernoulli.

Il existe deux types de nombres compris entre zéro et un, les nombres que l’on peut exprimer sous forme de fractions : les nombres rationnels et ceux que l’on ne peut justement pas exprimer sous forme de fractions : les irrationnels. La fraction 1/2 est un rationnel, la racine de deux à laquelle on soustrait un est un nombre irrationnel compris entre zéro et un. Georg Cantor, un mathématicien allemand a démontré qu’il existe plus de nombres irrationnels entre zéro et un que de nombres rationnels (un « plus » un peu étonnant car les deux ensembles sont infinis). En fait on peut montrer qu’étant donné un nombre irrationnel, pour tout nombre aussi proche de zéro que l’on veut il existe, un autre nombre dont la différence avec le premier est encore plus proche de zéro. En d’autres termes étant donné un nombre irrationnel on peut toujours trouver un autre nombre qui est aussi proche du premier qu’on le désire : le nombre de chiffres identiques après la virgule entre les deux nombres est aussi grand que l’on veut.

Pourtant ce nombre de chiffres après la virgule, aussi grand qu’il peut être est fini, et passé ce seuil les chiffres deviennent arbitrairement différents le plus souvent. Si l’on applique le processus décrit précédemment à deux tels nombres irrationnels aussi près l’un de l’autre qu’on le veut il arrive un moment où les deux nombres résultants se mettent à diverger et il devient impossible de prévoir à quel point ils vont différer : on voit bien en fait, que passé le nombre de fois où les chiffres après la virgule entre les deux nombres sont égaux on perd toute information sur le passé et l’on ne peut plus rien dire sur la proximité entre les deux nombres.

À propos de Tibor Skardanelli

Je suis un nain fameux

29 Commentaires

  1. … »les gens qui prétendent prédire la course de processus autrement plus complexes que sont les activités humaines et le climat »…
    Tenez-vous bien: on trouve même des gens qui prétendent prédire le résultat d’une élection -:)

  2. plantigrade69

    Skardanelli, je viens de voir madame Irma.
    Elle m’a dit que vous voulez couler son petit commerce. Et pourtant, ce n’est pas une déterministe!

  3. grandgil

    J’avais écrit un article sur les diseurs de bonne aventure
    http://www.agoravox.fr/tribune-libre/article/2012-le-debut-de-la-fin-du-monde-107179
    qui m’a valu la fureur de nombreux crédules, c’est étonnant à quel point le déterminisme rassure.

  4. Sophie

    A propos de déterminisme, c’est pas justement en mars 2012 qu’on devait tous clamser selon je ne sais plus quelle prédiction aztèque, incas ou je ne sais plus quoi?

  5. Yaakov Rotil

    Quelle impatience ! Non, c’est en décembre… Mais j’ai oublié la date exacte… Et je crois que c’était le calendrier Maya.

  6. Le 21 décembre.
    Et le 24, je fêterai Noël si Dieu me prête vie jusque-là !

  7. Sophie

    Bon, ben va falloir trouver à s’occuper d’ici au 21 décembre.

    Belote?

  8. Guenièvre

    Vous connaissez l’histoire de ce scientifique qui meurt et à qui Dieu dit :  » Maintenant je vais tout te dire, tout t’expliquer « . Et le scientifique s’écrie :  » Surtout pas ! Laisse-moi chercher encore ! »

  9. grandgil

    En parlant de chaos, un petit article contre Mélenchon ?

  10. Vertigineux, tout ça! Mais, finalement, plus rassurant que l’inverse, non?

  11. … »Surtout pas ! Laisse-moi chercher encore ! »…
    La science et l’amour se rejoignent. Il est plus doux de chercher que d’acquérir.

  12. Mille fois plus rassurant que l’épouvantable déterminisme : le réenchantement du monde !

  13. À grandgil
    J’ai failli faire la même suggestion que vous, j’ai lu votre post juste à temps.

    Ce qui me trouble est de constater que 11 ou 12 % de français envisager pour Melanchon.

  14. Cher Oiseau, deux points de vue valent mieux qu’un !

  15. Guenièvre

    @ Tibor,

    « le réenchantement du monde ! »

    Le réenchantement du monde et une formidable école de modestie et d’humilité ! Voilà ce que le l’astrophysicien Michel Cassé ( qui est aussi poète ) écrit de la physique quantique :

     » Elle ne peut s’accommoder d’aucune idéologie, d’aucun corset de l’esprit, d’aucune cage de la pensée. Elle n’est que le miroir de l’expérience , d’une expérience précise et constamment renouvelée. elle interdit à l’esprit de se reposer sur un oreiller de vérité préalable, quel qu’il soit, ou sur une logique traditionnelle, ou même sur une image. Elle recolore les notions de lois, de déterminisme, d’objet, de sujet. Elle débusque la métaphysique cachée. Elle utilise de vieux concepts, comme le mouvement, comme l’énergie mais elle les métamorphose. Il ne reste que l’esprit devant les faits, sans armure, sans béquilles, obligé à la rigueur et à l’éveil.  » Conversation sur l’invisible avec Jean Audouze et J. C. Carrière

    Et, de manière poétique :
    « Certain matin le fou tue le sage et réciproquement. La nuit c’est le jour vu de dos. La pointe de l’un creuse la tombe de l’autre. Le un tue le deux et les nombres, et inversement. Et l’unité se fait et se défait sous le stylet. Frères ouvriers en formules, crayonnez ! Crayonnez avec le fusain de la critique les équations d’Einstein, instance du poème du ciel. Pour maintenir en fleur le cœur de la recherche j’ai choisi Ciel et Physique. Loyauté, royauté des lois. » Cosmologie dite à Rimbaud »

    Tibor, pour les nuls en science comme moi, est-ce que quelqu’un pourrait un jour expliquer simplement la fameuse querelle entre Einstein et Niels Bohr ? ou est-ce dépassé ?

  16. grandgil

    ce soir ou demain l’article sur le Mélenshow

  17. grandgil

    Je suis effaré quant à moi par les mythes éculés sur lesquels Mélenchon se base pour faire de la démagogie

  18. Elle n’est pas dépassée, je prépare un papier sur le sujet !

  19. QuadPater

    Tibor j’adore ces sujets, et je vous remercie d’en initier une série sur Antidoxe. Je prends immensément de plaisir à parler de science. Même si les thèmes abordés ne sont pas quotidiens, y réfléchir nous transcende.

    Une seule remarque à propos de vos exemples de systèmes chaotiques : si le climat en était un à 100%, on ne pourrait pas prédire avec une quasi-certitude que le 5 août il fera dans l’hémisphère nord plus chaud que le 5 janvier.

    Concernant les prédiction d’événements politiques, on est très loin de la connaissance des conditions initiales… Et de plus un groupe humain n’est pas un système passif comme un courant d’air, l’information créée par certains éléments circule et agit sur les autres.

  20. Pour la prédiction du cinq août, ça ne contredit pas le fait que le climat le soit : la turbulence que l’on voit derrière l’avion est tout à fait chaotique pourtant la spirale qu’elle forme est prédictible.

  21. QuadPater

    Plus on descend au niveau microscopique, plus on observe de l’incohérence, de l’agitation et de la « non-prédictibilité ». Un rocher ne contient en fait quasiment que du vide avec ça et là un peu de matière qui bouge dans tous les sens. Pourtant on peut s’assoir dessus aujourd’hui et prédire qu’il sera exactement au même endroit demain. Et on peut même prédire que si on le lâche au-dessus d’un précipice il ne va pas s’élever dans les airs.
    Le problème des 3 corps n’empêche pas qu’on puisse savoir exactement dans quelle direction il faudra braquer les télescopes dans 10 ans pour observer Saturne depuis un point quelconque de la Terre.
    L’univers est formé au final de rien mais est plus solide et cohérent qu’on peut le croire quand on le regarde dans un microscope.

  22. Le problème des trois corps dit le le contraire : une résonance peut s’installer et faire complètement dévier une planète de sa course en très peu de temps. Ce sont Kolmogorov, Arnold et Mauser qui on montré qu’a priori il y a peu de chances que ça se produise (c’est une démonstration épouvantablement difficile connue sous le nom de théorème KAM), mais rien nous garantit que ces résonances ne peuvent se mettre en place.
    Pour ce qui est du climat notre planète est passé par des périodes incroyablement plus froides ou plus chaudes sans que l’on ait d’explications très valables. La rétractation des glaciers a commencé bien avant les premiers effets possibles du gaz carbonique, Leroy-Ladurie avant de tourner sa veste pour des raisons idéologiques avait fait une excellente étude à ce propos en 1981 bien avant que l’on parle de réchauffement climatique http://climat-sceptique.over-blog.com/article-2075947.html.
    Pour revenir aux planètes on pense qu’il y a plus de planètes orphelines dans l’iunivers que de planètes dans l’orbite d’une étoile ! Ça laisse songeur…

  23. Je ne dis pas que tous les systèmes sont chaotiques mais dès que l’on introduit quelques degrés de liberté il y a de fortes chances que ça le devienne. Par exemple un container de jouets en plastique a été perdu en mer, on a retrouvé ces jouets aux quatre coins du monde portés par les courants, ils étaient pourtant partis du même endroit.

  24. Guenièvre

    Je suis fascinée par les  » trous noirs » …qui ne sont pas des trous et qui ne sont pas noirs, d’après ce que j’ai cru comprendre mais des objets si concentrés qu’ils emprisonnent leur propre rayonnement…
    Et je suis fascinée par le hasard qui fait que parfois des poètes visionnaires ont décrit les choses avant qu’elles ne soient découvertes :

    « En cherchant l’œil de Dieu, je n’ai vu qu’une orbite
    Vaste, noire et sans fond, d’où la nuit qui l’habite
    Rayonne sur le monde et s’épaissit toujours.

    Un arc – en – ciel étrange entoure ce puits sombre,
    Seuil de l’ancien chaos dont le néant est l’ombre,
    Spirale engloutissant les Mondes et les Jours. »

    G.de Nerval – le Christ aux Oliviers

  25. Yaakov Rotil

    Ces jouets n’étaient-ils pas un peu juifs ?

  26. Sophie

    Une question sur les systèmes chaotiques et leur incohérence.

    N’est-ce pas aussi nos capacités limitées de perception et d’analyse qui nous empêchent de les envisager autrement?

  27. C’était la position d’Einstein : tout ceci est d’ordre phénoménologique. Pourtant le décalage de Bernouilli est intrinsèque et le temps qui passe notre lot à tous, Einstein lui-même en a fait l’expérience et il n’est pas revenu nous dire si effectivement c’est une simple vue de l’esprit.

  28. Sophie

    A ce sujet, je suppose que vous avez tous lu le bouquin de Stephen W. Hawking pour les nuls dans mon genre « Une brève histoire du temps ». Un régal.

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